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说说真应力真应变[转载]
作者:张伟伟 发表时间:2019-10-08 阅读次数:350

       应力、应变是固体力学中的一对重要概念,它们在力学中的地位就像一部小说中的男女主人公,固体力学整部剧目就以它们的经历为线索展开各种各样的情节。在《材料力学》中,应力和应变分别定义为:单位面积上的内力和单位长度的改变量(应变仅以线应变为例),以衡量构件所能承受的内力及其发生变形的能力,用公式表示分别为

       有的同学看到应力这样定义后,经常会产生一个疑问:应力和压强是不是一回事?首先说应力和压强的单位是相同的,都是牛顿/平方米 (N/m²);但它们所反映的力学概念却是不一样的,压强是外力在某物体表面的平均分布,应力是内力在物体假想截面上的平均分布。
       例如大气压强指大气层的自身重力作用于物体表面的压力,大气相对于物体就是外界,所以大气压力是外力;而应力,是先在物体内部假想了一个截面将物体截开为两个部分,应力是这两个部分在假想截面上的相互作用力的平均分布,由于这两个部分同属于同一个物体,所以是内力。其次,压强总是垂直于物体表面的,而应力则不一定垂直于截面,将截面上两部分之间的应力沿垂直于截面和平行于截面分解,垂直于截面的分量被称为正应力,而平行于截面的被称为切应力。
       应力、应变在表征材料强度和变形能力中具有很强的实用性。
       假设有A和B两种材料,用材料A做成直径20mm的圆棒试样,材料B做成直径为10mm的圆棒试样,材料A在50kN的拉力下被拉断,材料B在45kN 拉力下被拉断,但我们并不能说材料A的承载能力就比材料B的承载能力高,但是求其最大应力可得

       可见,材料B比材料A有更高的承载能力(3倍还多),只是因为试样B截面积较小才在较小的拉力下断裂,因此用“单位面积上的内力”就消除了试样截面尺寸的影响,得到材料的本身属性。变形方面也是这样,还是材料A和B,假设其截面相同(直径10mm),但试样长度不同,材料A长为200mm,材料B长为250mm,假设在45kN下两种材料的伸长量都是0.2mm,同样我们也不能就说材料B具有和材料A相同的变形。按照应变的定义,有

       在相同的伸长量下,只是由于材料A试样短才与材料B具有了相同的变形量,实际上材料A的变形要大一些。结合前一问,在此条件下材料B已经发生断裂,因此材料A的变形能力要高于材料B。可见,应变通过“单位长度的变形量”消除了比较材料变形能力时的试样长度影响。

       材料强度和变形的测定一般用万能试验机来测定(如上图),将标准试样安装在上下两个夹具之间,通过力传感器和位移传感器,测出在拉伸试件过程中力的变化和试样长度的伸长量,并将其画在“力-伸长量”的坐标系内,将其分别除以截面面积和试件长度可得到“应力-应变曲线”。下图所示为低碳钢拉伸曲线,由于它具有弹性变形、屈服流动、强化、颈缩四个典型的材料变形特征,因此常被用来说明材料的变形过程。

       需要强调的是,按照前面应力、应变的定义,将拉力除以试样面积,将伸长量除以试样长度,所得到的应力、应变,实际上有很大的问题,主要集中在颈缩阶段。这个阶段,试样面积急剧减小,但是应力求解还是利用拉力除以原始截面面积,这就产生了错误!同样,试样在拉伸过程中,长度不断增加,但求解应变还是用伸长量除以原始长度,这也是不对的。因此,这样求出来的应力应变并不是真实的应力、应变,只能算是名义上的应力、应变,因此称之为名义应力和名义应变,大概是工程使用上比较方便,也称为工程应力和工程应变。
       而真实的应力、应变称为真应力和真应变,需要以瞬时的截面面积和瞬时的试样长度为标准去定义。假设试样原始长度为l0,变形终了为lf,变形过程中任意瞬时为li,同样的下标也用来标识变形过程面积A,另P 表示瞬时的载荷,任意瞬时真应力S 定义为

       假设材料体积不变,即有Al0=Aili,上式可推导出

       对于真应变,设试样在加载过程中的变形的微增量为dl,则微变形过程中真应变为dε=dl/l(注:l 为变量),假设杆件从l0 变形到lf,则总变形量为

       如果用真应力、真应变表示低碳钢的拉伸曲线,在颈缩阶段,真应力也是上升的,如下图所示。

       从上两式可以看出,虽然名义应力和名义应变不是真应力和真应变,但它们却可以用来表达真应力和真应变。真应力是名义应力的 (1+ε) 倍,真应变是 (1+ε) 的自然对数。真应力说明颈缩阶段,加载材料上的应力其实并没有减少;真应变可以合理的解释分次加载时应变的可叠加性。
       例如,有一试样两次拉伸,原长为l0,第一次拉伸后长l1,退火后继续拉伸(退火保证两次材料性能一致)至l2,第一次拉伸的应变为

       第二次拉伸的应变为

       如果一次拉伸试样至l2,求解应变为

       显然

但如果考虑真应变,就可以保证两次加载后的真应变可以叠加,如第一拉伸后的真应变为

       第二次拉伸后的真应变为

       如果第一次拉伸如试样至l2,真应变为

       叠加两个真应变,得

       可见,真应变满足多次加载时应变的叠加性。
       令人遗憾的是,真应力、真应变在《材料力学》中并不做介绍,这部分知识多在《材料的力学性能》中讲解,而《材料的力学性能》大多是机械和材料专业所学的专业课程,力学专业并不开设《材料的力学性能》(主要是我校情况,其他学校没有调研),力学专业以研究“应力、应变”著称,竟然不学真应力和真应变?
       还好在《弹性力学》中对应力和应变进行了重新定义,将应力定义为内力在微截面上的极限

       将线应变定义为变形量在某一微段上的极限,但是通常不写成极限的形式,而写成微分的形式,以x 方向的伸长为例,如下

       由于

       式中,Δu 表示伸长量,Δx 表示微段,线应变就是伸长量除以微段在微段取极限时的结果。弹性力学以“微元体”为研究对象,达到了三种境界:
       解决了物体内应力不均匀的表述问题,微元体相当于“点”,这里的应力、应变只定义在某点处,而不是平均应力;
       消除了结构的具体形状的影响,如材料力学研究细长结构,而微元体可以组成一切形状的结构,也就是说弹性力学可以解决一切形状的问题;
       消除了不同材料之间的差异,不同材料在弹性力学中只有参数的不同,而无本质上的不同,弹性力学可以在弹性范围内解决所有材料的变形问题。
       弹性力学中得到应力、应变更加纯正,理论上更加完美!不过,如果要在工程中测量真应力、真应变,《材料力学》和《弹性力学》都没有提供方法,只能使用《材料的力学性能》所提供的公式进行测试。一门学科能在社会生产、实践中得到实用,将会得到更为广泛的认可,这就是这门学科结出的果实。真应力、真应变的概念让人产生这样一种印象:力学传承了应力、应变的概念,提供了应力、应变的分析和计算方法,却不能为工程提供简便、可行的测定真应力、真应变方法,这或许是工程界很多人对力学学科和力学专业感到陌生的原因之一。这就好比力学只专注于享受“渔”的过程,而对“鱼”本身却无动于衷。
       力学要积极的与工程接轨,服务于工程,让力学结出工程应用的果实。

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